Три в одном

Три прямоугольника — это немного, поэтому можно перебрать случаи расположения их в квадрате и проверить, могут ли в каждом из случаев прямоугольники быть подобными.

Если немного порисовать разбиения квадрата на три прямоугольника, чтобы понять, как они вообще могут в нем располагаться, то довольно быстро можно прийти к тому, что есть всего два разных случая (с точностью до поворотов квадрата). Действительно, к верхней стороне квадрата могут примыкать три, два или один прямоугольник. Если их три, то получается конфигурация, показанная на рис. 1 слева. Если два, то — конфигурация, показанная на этом рисунке справа. Если же к верхней стороне примыкает только один прямоугольник, то два других располагаются под ним, а их общая сторона либо горизонтальна (и тогда это то же самое, что первая конфигурация), либо вертикальна (тогда это то же самое, что вторая конфигурация).

Рис. 1.

Про первую конфигурацию сразу ясно, что все три прямоугольника равны друг другу: по условию они должны быть подобны, но из расположения получается, что равны их большие стороны.

Разберемся со второй конфигурацией. Будем считать ориентацией прямоугольника направление его более длинной стороны (ясно, что у нас тут фигурируют только вытянутые прямоугольники, у которых одна сторона длиннее другой). Как могут быть ориентированы два верхних прямоугольника?

Они не могут быть оба вертикальными (как на рис. 1), потому что тогда они будут равны (большие стороны совпадают), и поэтому отношение большей стороны к меньшей у них меньше 2 (так как меньшая сторона равна половине стороны квадрата, а большая не больше целой стороны квадрата). А у нижнего прямоугольника это отношение будет больше 2. Значит, он не может быть подобным верхним.

Они могут быть оба горизонтальными (рис. 2, слева). Тогда два верхних прямоугольника опять равны и несложно посчитать, что для того, чтобы все три прямоугольника были подобными, нужно, чтобы стороны каждого относились друг к другу как 3:2.

Рис. 2.

Наконец, может ли быть так, что один из верхних прямоугольников горизонтальный, а второй — вертикальный? Проверим. Эта ситуация изображена на рисунке 2 справа. Введем обозначения, как этом рисунке. Учитывая подобие прямоугольников, находим:

Поскольку стороны квадрата равны, получаем равенства:

Правое равенство позволяет выразить y:

после чего из левого равенства получается уравнение

Его можно переписать в виде

У этого кубического уравнения один действительный корень \(\rho\approx1{,}3247\ldots\), так что такой случай реализуется. Итого, есть три способа разрезать квадрат на подобные прямоугольники.

Поскольку для кубических уравнений известны формулы, дающие точные решения, то можно быть уверенным, что корень есть и он один. В радикалах это число записывается так:

Также его можно записать и в виде бесконечной последовательности вложенных друг в друга радикалов:

Интересно, что у этого числа есть свое «имя»: голландский архитектор (и по совместительству монах) Ганс ван дер Лаан (Hans van der Laan) назвал его пластичным числом (plastic number). Ван дер Лаан создал не очень много зданий и в основном это были церкви, но его теоретические работы имели определенный вес. В частности, он разработал теорию гармоничных соотношений между элементами здания, в которой пластическое число играло центральную роль.

Рис. 3. Здания, спроектированные Гансом ван дер Лааном. Слева: бенедектинский монастырь в Тумелилла, Швеция. Справа: интерьер аббатства в Маастрихте, Нидерланды. Фото с сайта divisare.com

Такое название по его задумке отражало то, что этому числу можно придать геометрические «формы». С одним примером такой формы мы познакомились в задаче. Другой пример возникает так. Допустим, что имеется неограниченный запас коробок (прямоугольных параллелепипедов) разных размеров с целыми длинами сторон. Начнем с коробки 1×1×1, приставим к ней сбоку еще одну такую коробку — получится коробка 2×1×1. Приставим к ней спереди такую же, чтобы получилась коробка 2×2×1. Приставим к ней снизу коробку 2×2×2, чтобы получилась коробка 2×2×3. Далее нужно продолжать так: приставлять новые коробки поочередно сбоку, спереди, снизу, а размер их выбирать так, чтобы два измерения (это размеры грани, к которой приставляется очередная коробка) совпадали с измерениями текущей коробки, а третье измерение было таким, каким получилось изменившееся измерение за два «хода» до этого. Первые шаги показаны на рисунке 4. Например, пятым «ходом» справа приставляется коробка 2×2×3 и ее «длина» (измерение вдоль стрелочек на этом рисунке) равна 2, потому что за два хода до этого у коробки получилась «ширина», равная 2 (это правая коробка в верхнем ряду).

Рис. 4. Построение «пластической» коробки. Рисунок из статьи V. W. De Spinadel, A. R. Buitrago Towards van der Laan’s Plastic Number in the Plane

Если продолжать этот процесс, то размеры коробок будут, естественно, увеличиваться. Но вот отношения их сторон («соседних» по длине, как показано на рис. 4) будут стремиться к конечному пределу, которым и является пластическое число.

Идея обоснования следующая. Заметим, что размеры коробок — это тройки стоящих рядом чисел из последовательности 1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 12, 16, ... Если обозначить n-й член этой последовательности P_n, то при n > 3 выполняется равенство P_n = P_n−2 + P_n−3. Точнее, это линейное рекуррентное соотношение и задает эту последовательность, которая называется последовательностью Падована (Padovan sequence). Оказывается, можно выразить общий член рекуррентной последовательности через корни ее характеристического многочлена. По указанным ссылкам можно подробнее ознакомиться с этой темой, сейчас важно лишь, что для данной последовательности характеристический многочлен такой: \(x^3-x-1\), а его действительный корень, как мы знаем, — пластическое число ρ. Поэтому, кстати, последовательность степеней этого числа 1, ρ, ρ², ρ³, ... удовлетворяет тому же рекуррентному соотношению (из этого наблюдения на самом деле и проистекает метод выражения члена последовательности через корни многочлена). У этого многочлена есть и два комплексных корня. Если их обозначить через q и s, то при некоторых константах a, b, c равенство P_n = aρⁿ + bqⁿ + csⁿ будет верно при всех натуральных n. Но поскольку комплексные корни q и s по модулю меньше 1, их степени стремятся к нулю с ростом n.

В этом смысле пластическое число для последовательности Падована — это то же самое, что другое (и куда более известное) «архитектурное» число — золотое сечение — для последовательности Фибоначчи (а серебряное сечение — для чисел Пелля).

Еще о свойствах пластического числа можно почитать в статье V. W. De Spinadel, A. R. Buitrago Towards van der Laan’s Plastic Number in the Plane.