Основные понятия дифференциального исчисления и история их развития (Бакалавр) - реферат

Министерство общего и профессионального образования

Астраханский Государственный Педагогический Университет

Бакалаврская работа

Студентки IV курса физико–математического факультета

Ночевной Светланы Павловны

Кафедра:

Математического анализа

Тема:

Основные понятия дифференциального исчисления и история их развития

Научный руководитель

ст. преподаватель

Пономарёва Н.Г.

Астрахань

1998 г.

План.

1. Основные понятия дифференциального исчисления функций одной переменной.

   1. Определение производной и её геометрический смысл.

   2. Дифференциальные функции. Определение дифференциала.

   3. Инвариантность формы первого дифференциала.

   4. Дифференциал суммы, произведения и частного.

   5. Геометрическая интерпретация дифференциала.

2. Основные понятия интегрального исчисления функций одной переменной.

   1. Первообразная функция и неопределённый интеграл.

   2. Геометрический смысл неопределённого интеграла.

   3. Основные свойства неопределённого интеграла.

   4. Метод непосредственного интегрирования.

   5. Метод замены переменной (способ подстановки).

   6. Интегрирование по частям.

   7. Определённый интеграл как предел интегральной суммы.

   8. Основные свойства определённого интеграла.

   9. Геометрический смысл определённого интеграла.

   10. Теорема Ньютона–Лейбница.

   11. Формула Ньютона–Лейбница.

   12. Замены переменных в определённых интегралах.

   13. Интегрирование по частям.

3. Исторические сведения о возникновении и развитии основных понятий.

   1. Происхождение понятия определённого интеграла и инфинитезимальные методы Архимеда.

   2. От Архимеда к Кеплеру и Кавальери.

   3. Теорема Паскаля.

   4. «О глубокой геометрии» Лейбница.

   5. «Метод флюксий» Ньютона.

   6. Дифференциальные методы.

Цель работы: «Изучить основные понятия дифференциального и интегрального исчислений и ознакомиться с историей их развития».

1.Основные понятия дифференциального исчисления функций одной переменной.

1.1.Определение производной и её геометрический смысл.

Пусть функция y = f(х) определена в окрестности точки х_о. возьмём точку х₁ этой окрестности, отличную от х_о.

Определение. Разность х₁ – х₀, которую обозначают символом х, будем называть приращением независимой переменной.

Определение. Подобным образом соответствующая разность

у₁ – у₀ = f(х₁) – f(х₀), обозначается символом у и называется приращением зависимой переменной, или приращением функции.

Получаются следующие соотношения:

х₁ = х₀ + х,

у₁ = у₀ + у,

у₀ + у = f(х₀ + х)

Так как у₀ = f(х₀),

то у = f(х₀ + х) – f(х₀).

у f(х₀+х)– f(х₀)

х х

О пределение. Частное будем называть разностным отношением.

Выражение f(х₀+х)– f(х₀)

х

(принимая что х₀ имеет определённое постоянное значение) можно считать функцией приращения х.

Определение. Если предел этого выражения при х, стремящемся к нулю, существует, то его мы будем называть производной функции у = f(х) по х в точке х₀

И так, = = f’(х₀) = у’_х = у’=

Пример. у=х² . Вычислите производную для х=2.

Имеем: f(х+х) = (х+х)² ,

Поэтому у = (х+х)² – х² = 2хх+(х)²

Отсюда = 2х+х

Переходя к пределу получим: = 2х + = 2х.

Д ля того, чтобы отношение имело предел, необходимо, чтобы , то есть, чтобы функция рис.1

была непрерывной в точке х⁰.

Рассмотрим график функции у = f(х) (рис.1)

Легко заметить, что отношение равно тангенсу угла , образованного положительным направлением секущей, проходящей через точки А и В (соответствующие точкам х и х+х), с положительным направлением оси Ох, то есть, от А к В если теперь приращение х будет стремиться к нулю, точка В будет стремиться к А, то угол  будет стремиться к , образованному положительным направлением касательной с положительным направлением оси Ох, а tg  будет стремиться к tg .

П оэтому = tg  (положительным направлением касательной считаем то направление, в котором х возрастает).

Таким образом, можно утверждать следующее:

Производная в данной точке х равна тангенсу угла, образованного положительным направлением касательной в соответствующей точке (х,f(х)) нашей кривой с положительным направлением оси Ох.

1.2 Дифференциальные функции. Определение дифференциала.

Определение. Функция у = f(х) называется дифференцированной в точке х, если её приращение у в этой точке можно представить в виде

у = f’(х)х+(х)х,

где  (х) = 0

К ак видно из из определения, необходимым условием дифференцируемости является существование производной. Оказывается что это условие также и достаточно. В самом деле пусть существуют у’ = f’(х)

П оложим – f’(х), х  0

0. , х = 0

При таком определении  имеет для всех х

у = f’(х)х +(х)х .

О стаётся, следовательно, установить непрерывность (х) при х = 0, то есть, равенство  (х) = (0) = 0, но, очевидно,

 (х) = – f’(х) = f’(х) – f’(х) = 0,

что и требовалось.

Таким образом, для функции одной переменной дифференцируемость и существование производной — понятия равносильные.

О пределение. Если функция у = f’(х) дифференцируема, то есть, если у = f’(х)х +  ^. х,  = 0,

то главную линейную часть f’(х)х, её приращения будем обозначать d_ху, d_хf(х) и называть дифференциалом переменной у по переменной х в точке х.

Написав для симметрии d_хх вместо х, получим следующую формулу:

d _ху = f’(х)d_хх,

откуда = f’(х).

Заметим ещё, что дифференциалы d_ху и d_хх являются функциями переменной х, причём функция d_хх принимает постоянное значение х.

1.3 Инвариантность формы первого дифференциала.

В случае, когда переменная у = f(х) была функцией независимой переменной х, мы имеем, по определению,

у = f’(х)х или d_хх = f’(х)d_хх (1)

Рассмотрим теперь случай, когда х является в свою очередь функцией другой переменной,

х = х(t).

Теорема. Если функции х = (t) и у = (t) дифференцируемы в соответствующих точках t = t­₁ и х = х₁ = (t₁), то дифференциал сложной функции у = f((t)) = (t) может быть представлен в виде

d_tу = f’(х₁) d_tх.

Доказательство: Согласно определению дифференциала имеем

d_tх = ’(t₁) d_tt (1¹)

d_tу = ’(t₁) d_tt (2)

Но на основании теоремы о производной сложной функции мы видим, что

’(t₁) = f’(х₁) ’(t₁)

Подставив это выражение в формулу (2), получим:

d_tу = f’(х₁) ’(t₁) d_tt,

отсюда в силу формулы (1¹)

d_tу = f’(х₁) d_tх (3)

Сравнив формулу (1) с формулой (3), мы заметим что их можно записать символически в виде

dу = f’(х) dх (4)

Формулу (1) или (3) мы получаем из формулы (4), написав вместо d, соответственно d_х или d_t.

Символы dх и dу не являются совершенными, однако во многих случаях, когда возможность ошибиться будет исключена, мы будем ими пользоваться вместо символов d_хх и d_ху или, соответственно, d_tх и d_tу.

Значение формулы (4) становится ясным, если обратить внимание на то, что при отыскании производной приходится пользоваться двумя формулами для определения производной у по х. А именно, когда переменная у зависит непосредственно от х, то

у’_х = f’(х);

когда же зависимость переменной у от х даётся при помощи некоторой (промежуточной) функции и, то

у’_х = f’(и)и’_х.

При отыскании же дифференциалов получим в обоих случаях одинаковые формулы:

d_ху = f’(х) d_хх, d_ху = f’(и) d_хи

или

dу = f’(х) dх, dу = f’(и) dи.

1.4 Дифференциал суммы, произведения и частного.

Из теорем о производных суммы, произведения и частного можно получить аналогичные формулы для дифференциалов суммы, произведения и частного. Пусть и и  — функции от х:

и = f(х),  = (х),

имеющие непрерывные частные производные.

Если положить у = и + ,

то у’_х = и’_х + ’_х,

откуда у’_х dх = и’_х dх + ’_хdх,

следовательно dу = dи + d,

то есть d(и + ) = dи + d.

Аналогично dси = сdи,

где с – постоянное число;

d(и ) = иd + dи,

d ( ) = .

Замечание. На практике часто бывает выгоднее оперировать дифференциалами, а потом делением на дифференциал независимой переменной переходить к производной.

1.5 Геометрическая интерпретация дифференциала.

Д ифференциал можно геометрически представить следующим образом:

Из рис. 2 видно, что dу = f’(х)dх = tg  ^. dх = СД.

Таким образом, если у – приращение ординаты кривой, то dу – приращение ординаты касательной.

Д ифференциал dу, вообще говоря, отличается от у, но их разность очень мала по сравнению dх для очень малых dх, так как

=  (х) = 0

На практике, когда речь идёт только о приближённых значениях, можно для малых приращений dх считать

у = dу = f’(х)dх.

2.Основные понятия интегрального исчисления функций одной переменной.

2.1.Первообразная функция и неопределённый интеграл.

Основной задачей дифференциального исчисления является нахождение производной f’(х) или дифференциала f’(х)dх данной функции f(х).

В интегральном исчислении решается обратная задача:

Дана функция f(х); требуется найти такую функцию F(х), производная которой f(х)dх в области определения функции f(х), то есть, в этой области функции f(х) и F(х) связаны соотношением F’(х) = f(х) или dF(х)= F’(х)dх = f(х)dх.

Определение. Функция F(х) называется первообразной функцией для данной функции f(х), если для любого х из области определения f(х) выполняется равенство F’(х) = f(х) или dF(х) = f(х)dх.

Примеры. 1) Пусть f(х) = cos х.

Решение: Тогда F(х) = sin х, так как F’(х) = cos х = f(х) или dF(х) = cos х dх = f(х)dх

2) Пусть f(х) = х².

Решение: Тогда F(х) = , так как F’(х) = х² = f(х) или dF(х) = х²dх = f(х)dх.

Известно, что если две функции f(х) и (х) отличаются друг от друга на постоянную величину, то производные или дифференциалы этих функций равны, то есть, если f(х) = (х) + С, то f’(х) = ’(х) или f’(х)dх = ’(х)dх.

Известно также, что и наоборот, если две функции f(х) и (х) имеют одну и ту же производную или один и тот же дифференциал, то они отличаются друг от друга на постоянную величину, то есть, если

f’(х) = ’(х) или dхf(х) = d(х), то

f(х) = (х) + С.

Замечание. Действительно, если производная f’(х) обращается в нуль для любых значений х в (а,в), то в этом интервале f(х) = С.

В самом деле, если х₁ (а,в) и х₂  (а,в), то в силу теоремы Лагранжа, имеем f(х₂) – f(х₁) = (х₂–х₁) f’(х₀), где х₁ х₀ х₂ . Но, так как f’(х₀) = 0, то f(х₂) – f(х₁) = 0.

Отсюда непосредственно следует что, если в формуле у = F(х) + С мы будем придавать постоянной С все возможные значения, то получим все возможные первообразные функции для функции f(х).

О пределение. Множество F(х) +С всех первообразных функций для функции f(х), где С принимают все возможные числовые значения, называется неопределённым интегралом от функции f(х) и обозначается символом

f(х)dх

Т аким образом, по определению,

f(х)dх = F(х) + С, (А)

г де F’(х) = f(х) или dF(х) = f(х)dх и С – произвольная постоянная. В формуле (А) f(х) называется подынтегральной функцией, f(х)dх – подынтегральным выражением, а символ – знаком неопределённого интеграла.

Неопределённым интегралом называют не только множество всех первообразных, но и любую функцию этого множества.

Определение. Нахождение первообразной по данной функции f(х) называется интегрированием

2.2.Геометрический смысл неопределённого интеграла.

Пусть задан неопределённый интеграл F(х) + С для функции f(х) в некотором интервале. При фиксированном значении С = С₁ получим конкретную функцию у₁ = F(х) + С₁, для которой можно построить график; его называют интегральной кривой. Изменив значение С и положив С = С₂, получим другую первообразную функцию С соответствующей новой интегральной кривой.

А
налогично можно построить график любой первообразной функции. Следовательно, выражение у = F(х) + С можно рассматривать как уравнение семейства интегральных кривых неопределённого интеграла F(х) + С. Величина С является параметром этого семейства – каждому конкретному значению С соответствует единственная интегральная кривая в семействе. Интегральную кривую, соответствующую значению параметра С₂, можно получить из интегральной кривой, соответствующей значению параметра С₁, параллельным сдвигом в направлении оси Оу на величину /С₂ – С₁/. На рис. 3 изображён неопределённый интеграл х² + С от функции f(х) = 2х, то есть, семейства парабол.

2.3.Основные свойства неопределённого интеграла.

1. Производная неопределённого интеграла равна подынтегральной функции, то есть,

[ f(х)dх ]’ = f(х) .

Д оказательство. Согласно определению неопределённого интеграла,

f(х)dх = F(х) + С, (V)

где F’(х) = f(х)

Д ифференцируя обучение части равенства (V), имеем

[ f(х)dх ]’ = [F(х) + С ]’,

о ткуда

[ f(х)dх ]’ = F’(х) + С¹ = F’(х) = f(х) .

2. Д ифференциал неопределённого интеграла равен подынтегральному выражению, то есть

d f(х)dх = f(х)dх

Д оказательство. Согласно определению неопределённого интеграла,

f(х)dх = F(х) + С

d f(х)dх = d(F(х) + С) = dF(х) = dС = F’(х)dх = f(х)dх

3. Н еопределённый интеграл от дифференциала некоторой функции F(х) равен самой функции с точностью до произвольной постоянной С, то есть

dF(х) = F(х) + С, (v)

Д оказательство. Продифференцировав оба равенства (v), будем иметь

d dF(х) = dF(х) (по свойству 2)

d(F(х) + С) = dF(х)

с ледовательно, функции dF(х) и dF(х) отличаются друг от друга на постоянную величину, то есть

dF(х) = F(х) + С

4. Постоянный множитель можно выносить за знак неопределённого интеграла, то есть

а f(х)dх = а f(х)dх (а 0)

Д оказательство. Продифференцируем обучение части равенства. Тогда получим

d а f(х)dх = а f(х)dх (по свойству 2)

и d [ a f(х)dx ] = ad f(х)dх =а f(х)dх

(в силу свойства дифференциала)

Т аким образом, дифференциалы функций

а f(х)dх и а f(х)dх равны, а потому эти функции отличаются друг от друга на постоянную величину, то есть, а f(х)dх = = а f(х)dх * dх + С. Но постоянную С можно считать включённой в состав неопределённого интеграла, следовательно,

а f(х)dх = а f(х)dх.

5. И нтеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых функций, например:

[f₁(х) + f₂(х) – f₃(х)]dх = f₁(х)dх + f₃(х)dх – f₃(х)dх (v)

Доказательство: Продифференцируем обе части равенства.

Д ифференцирование любой части равенства даёт:

d [f₁(х) + f₂(х) – f₃(х)]dх = [f₁(х) + f₂(х) – f₃(х)]dх

В результате дифференцирования правой части равенства (v), получается дифференциал алгебраической суммы нескольких функций, который как известно равен алгебраической сумме дифференциалов слагаемых функций. Следовательно,

d[ f₁(х)dх + f₂(х)dх – f₃(х)dх] =

= d f₁(х)dх + f₂(х)dх – f₃(х)dх

Применяя свойство 1, в правой части последнего равенства получаем

f₁(х)dх + f₂(х)dх – f₃(х)dх = [ f₁(х) + f₂(х) – f₃(х)]dх

Итак, после дифференцирования обеих частей равенства (v) получены тождественные результаты, следовательно, справедлива формула (v) (см. доказательство свойства 3).

2.4. Метод непосредственного интегрирования.

Определение. Непосредственным интегрированием называется интегрирование заключающееся в прямом применении формул таблицы основных интегралов. Чтобы найти неопределённый интеграл от какой–нибудь функции f(х), нужно прежде всего отыскать в таблице интегралов формулу в левой части которой стоит интеграл такого же вида, как данный, и записать ответ в соответствии с правой частью этой формулы.

П римеры.

1. х ⁷dх

Р ешение. х⁷dх = + С

2. 2 ³ х² dх

Р ешение. Имеем 2 ³ х² dх = 2х^2/3dх

П рименяя формулы, получаем 2х^2/3dх = 2 х^2/3dх = 2 + С.

Т аким образом, 2х^2/3dх = х ³ х² + С.

3)

Р ешение. Согласно известному свойству дифференциала, 3dх = d(3х), а потому

=

Применяя формулу, получаем tg3х + С

В тех случаях, когда под знаком интеграла стоит алгебраическая сумма обычно разлагают данный интеграл на сумму нескольких интегралов, из которых каждый можно найти по соответствующей формуле.

3. ( 2х³ + 9х² – 5 х + 4/ х )dх

Р ешение. (2х³ + 9х² – 5 х + 4/ х )dх =

= 2 х³dх + 9 х²dх – 5 х^1/2 + 4 dх/ х =

= 2 + 9 – 5 + 4 * 2 х + С =

= х⁴ / 2 + 3х³ – 10/3 х х + 8 х + С.

2.5. Метод замены переменной (способ подстановки).

Н аиболее общим приёмом интегрирования функций является способ подстановки, который применяется тогда, когда искомый интеграл f(х)dх не является табличным, но путём но путём ряда элементарных преобразований он может быть сведён к табличному.

М етод подстановки основан на применении следующей формулы:

f(х)dх = f[(t)]’(t)dt, (1)

где х = (t) – дифференцируемая функция от t, производная которой ’(t) сохраняет знак для рассматриваемых значений переменных.

Сущность применения этой формулы состоит в том, что в данном интеграле f(х)dх переменная х заменяется переменной t по формуле х = (t) и, следовательно, dх произведением ’(t)dt.

С праведливость формулы (1) будет доказана если после дифференцирования обеих её частей получатся одинаковые выражения. Продифференцировав левую часть формулы, имеем

d [ f(х)dх ] = f(х)dх = f [(t)] ’(t)dt

Продифференцировав правую часть формулы, имеем

d f [(t)] ’(t)dt = f [ (t) ] ’(t)dt

Таким образом, формула (1) справедлива. Часто употребляется обратная замена переменной, то есть, подстановка t = (t), dt = ’(t)dх.

П римеры.

1. (2х + 3)⁴dх.

Данный интеграл можно свести к табличному интегралу (V). Подстановка выбирается из простого соображения: в подынтегральном выражении табличного интеграла (V) в основании степени и под знаком дифференциала стоит одно и тоже выражение и.

С ледовательно, в данном случае нужно применить подстановку и = 2х + 3, отсюда имеем dи = 2dх и dх = dи/2, а потому

(2х + 3)⁴dх = и⁴(dи/2) = 1/2 и⁴dи =

= 1/2 * и⁵/5 + С = + С.

2.6 Интегрирование по частям.

Допустим, что u, v – функции переменной х, непрерывные и имеющие производные в интервале (а,в). имеем тогда

(uv)’ = uv’ + vu’

так что uv’ = (uv)’ – vu’

Б еря неопределённые интегралы от обоих частей и учитывая, что uv’dх = uv – vu’dх, (1)

Если оба интеграла существуют.

П ользуясь дифференциалами предыдущую формулу можно написать в следующем виде:

udv = uv – vdu. (2)

Ф ормула (2) даёт возможность вычисления интеграла    udv свести к вычислению интеграла vdu , который, быть может, берётся легче. Этот метод называется интегрированием по частям.

П римеры.

1) J = хе^хdх.

П оложим и = х, dи = dх, dv = е^хdх,

v = е^хdх = е^х

Следовательно,

J = хе^х – е^хdх = хе^х – е^х + С.

2 ) ln хdх .

Положим, u = ln х, dи = dх/х

dv = dх v = dх = х.

С ледовательно,

J = х ln х – dх = х ln х – х + С..

2.7. Определённый интеграл как предел интегральной суммы.

Пусть интервал [а,в], на котором задана функция у = f(х), разбит точками деления х₁ х₂  …  х_{п – 1} на п частичных интервалов ₁ = [х₀,х₁], ₂ = [х₁,х₂], …, _n = [х_п–1,х_п], где а =х₀ , в = х_п, причём в каждом частичном интервале _i выбрана какая–либо точка _i:

х_i–1  _i  х_i (i = 1, 2, …, п). Пусть, далее, х_i – длина интервала _i, то есть,

х_i – х_i–1 = х_i (i = 1, 2, …, п),

а max х_i – наибольшее из чисел х_i.

Т ребуется найти предел суммы

1. f(₁) х₁ + f(₂) х₂ + … + f(_п) х_п =  f(_i) х_i,

когда длины х_i всех частичных интервалов _i стремятся к нулю (при этом с необходимостью число п этих интервалов будет стремиться к бесконечности). Другими словами, требуется найти предел этой суммы при max х_i 0, так как условие, что максимальная из длин частичных интервалов _i стремится к нулю, равносильно условию, что все х_i 0.

И так, требуется найти

lim  f(х_i) х_i.

Определение. Сумму (1) называют интегральной суммой.

О пределение.  Функция f(х) называется интегрируемой на интервале [а,в], если существует конечный предел

lim  f(_i) х_i, (2)

не зависящий от того, каким образом интервал [а,в] делится на частичные интервалы и каким образом выбираются точки _i на этих частичных интервалах, лишь бы длина максимального из них стремилась к нулю. Этот предел называется определённым интегралом от функции f(х) на интервале [а,в] и обозначается символом

f(х)dх = lim  f(_i) х_i.

Для того чтобы не оставалось неясностей, сформулируем точно, как следует понимать предел (2).

О пределение. Число J называется пределом интегральной суммы  f(_i)х_i при max х_i 0, если для любого заданного   0 найдётся такое   0, что выполняется неравенство:

| f(_i)х_i – J | 

при любом выборе частных интервалов, ₁, ₂, …, _п и точек ₁, ₂, …, _п на этих интервалах, лишь бы только выполнялось требование max х_i 0, то есть лишь бы длина наибольшего (а значит, и всех) из частичных интервалов была меньше .

Из определения определённого интеграла отнюдь не следует, что любая функция интегрируема на любом интервале. Можно подобрать такие функции, для которых определённый интеграл не существует, то есть для которых интегральная сумма не стремится к определённому пределу. Существование определённого интеграла от функции, заданной на интервале [а,в], обеспечивает непрерывность этой функции на [а,в], поэтому непрерывность функции на [а,в] является достаточным условием её интегрируемости на этом интервале, то есть

Теорема 1. Если функция f(х) непрерывна на замкнутом интервале [а,в], то она интегрируема на этом интервале, то есть имеет определённый интеграл

f(х)dх.

Иногда на практике приходится интегрировать и разрывные функции. Приведём несколько более широкое достаточное условие существования интеграла.

Теорема 2. Если на интервале [а,в] функция ограничена и имеет лишь конечное число точек разрыва, то она интегрируема на [а,в].

2.8. Основные свойства определённого интеграла.

Т еорема 1. Пусть с – промежуточная точка интервала [а,в] (а  с  в). Тогда имеет место равенство

f(х)dх = f(х)dх + f(х)dх,

если все эти три интеграла существуют.

Д оказательство: Разобьём [а,в] на п частичных интервалов [а,х₁], [х₁,х₂], …, [х_п–1, в] длиной соответственно х₁, х₂, …, х_п так, чтобы точка с была точкой деления. Пусть, например, х_т = с (т  п). Тогда интегральная сумма

 f(_i)х_i

соответствующая интервалу [а,в], разобьётся на две суммы:

 f(_i)х_i =  f(_i)х_i =  f(_i)х_i

соответствующие интервалам [а,с] и [с,в].

Переходя к пределу при неопределённом уменьшении длины максимального частного интервала х_i, то есть, при max х_i 0, будем иметь

f(х)dх = f(х)dх + f(х)dх,

Т еорема 2. Постоянный множитель можно выносить за знак определённого интеграла, то есть

k f(х)dх = k f(х)dх.

Д оказательство: По определению:

k f(х)dх = lim [k f(₁)х₁ + k f(₂)х₂ + … + k f(_п)х_п] =

= lim  k f(_i)х_i.

Н о так как, согласно одному из свойств предела,

lim  k f(_i)х_i = k lim  f(_i)х_i,

и так как, по определению, lim  f(_i)х_i = f(х)dх

т о k f(х)dх = k lim  f(_i)х_i = k f(х)dх

Теорема 3. Определённый интеграл от алгебраической суммы нескольких непрерывных функций равен алгебраической сумме определённы интегралов от этих функций.

Д оказательство: Докажем, например, что

[f₁(х) + f₂(х) – f₃(х)]dх = f₁(х)dх + f₂(х)dх – f₃(х)dх

в самом деле имеем:

[f₁(х) + f₂(х) – f₃(х)]dх = lim  [ f₁(_i)dх + f₂(_i)dх – f₃(_i)]х_i =

= lim  f₁(_i)х_i + lim  f₂(_i)х_i – lim  f₃(_i)х_i =

= f₁(х)dх + f₂(х)dх – f₃(х)dх

Теорема 3. (о среднем значении определённого интеграла)

Е сли функция f(х) непрерывна на [а,в], то внутри него найдётся такая точка С.

f(х)dх = (в–а) f(с)

Доказательство: Так как функция f(х) непрерывна на [а,в], то она достигает своего наибольшего и наименьшего значений М и т на [а,в]. произведём обычное разбиение интервала [а,в], на п частичных интервалов _i длиной х_i = х f(_i)  т – х_i–1 (i = 1, …, п).

Так как f(_i)  т при любом _i, то

f(_i) х_i  тх_i

о ткуда  f(_i)х_i  т  х_i

и ли  f(_i)х_i  т(в – а)

так как  х_i = х₁+х₂ + … + х_п = в – а.

Так как, далее, f(_i)  т, при любом _i, то

f(_i) х_i  Мх_i

а потому  f(_i)х_i  М х_i,

то есть,  f(_i)х_i  М(в – а).

Т аким образом, имеем

т(в – а)   f(_i)х_i  М(в – а).

П ереходя к пределу при max х_i 0, получим неравенства

т(в – а)  f(х)dх  М(в – а)

f(х)dх

(в – а)

И з этих неравенств и теореме о непрерывной функции на [а,в], принимающей в этом [а,в] все промежуточные значения между своими наибольшими и наименьшими значениями, следует, что отношение

f(х)dх

(в – а)

можно принять за значение f(с) функции f(х) в некоторой промежуточной точке с интервала [а,в] (т  f(с) М).

Т аким образом,

( f(х)dх) / (в – а) = f(с)

или

f(х)dх = (в – а)f(с)

2 .9. Геометрический смысл определённого интеграла.

И звестно, что площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху непрерывной кривой у = f(х), снизу – интервалом [а,в] оси Ох (а  х  в) и с боковых сторон – прямыми х = а, х = в, равна

S = lim  f(_i)х_i

Н о, по определению,

f(х)dх = lim  f(_i)х_i

с ледовательно,

S = f(х)dх

Таким образом, в случае, когда f(х)  0, то есть, когда график функции у = f(х) располагается над осью Ох, определённый интеграл численно равен площади S криволинейной трапеции.

Если же f(х) = 0 при а  х  в, то есть если кривая располагается под осью Ох, то сумма

 f(_i)х_i

р
авна сумме площадей криволинейной трапеции аАВв, взятой со знаком минус (рис. 4)

Тогда с геометрической точки зрения определённый интеграл от f(х)dх численно равен площади S криволинейной трапеции, ограниченной интервалом [а,в] оси Ох (а  х  в), непрерывной кривой у = f(х) и отрезками прямых х = а, х = в, равными f(а) и f(в).

2.10. Теорема Ньютона–Лейбница.

Пусть функция f непрерывна на [а,в]. тогда она интегрируема на любом отрезке, [а,х], где а  х  в, то есть, для любого х  [а,в], существует интеграл

F(х) = f(t)dt (V)

Если f(t)0  t[а,в], то F(х) = S(х), где S(х) – площадь криволинейной трапеции аАL(х) (рис. 5)

О
пределение. Функция F определённая соотношением (V) на [а,в] называется интегралом с переменным верхним пределом.

Эта функция непрерывна и дифференцируема на [а,в]. А именно имеет место следующая теорема.

Теорема. (Ньютона–Лейбница)

Производная определённого интеграла от непрерывной на [а,в] функции f , рассматриваемого как функция его верхнего предела, существует и равна значению подынтегральной функции в точке дифференцирования.

F’(х) = ( f(t)dt) = f(х)₁, х  [а,в] .

Д оказательство: Пусть х  [а,в], х + х  [а,в]; тогда в силу теоремы 1 пункта 2.12. получим

F(х +х) = f(t)dt = f(t)dt + f(t)dt

Н айдём соответствующее приращение F функции F. Используя равенства (V) и теорему 4 пункта 2.12. имеем

F = F(х +х) – F(х) = f(t)dt = f(с)х, где

с  [х, х +х]

В ычислим производную функции (V):

F’(х) = lim = lim = lim f(с)

Если х 0, то х + х 0 и с  х, так как с  [х, х+х]. Тогда в силу непрерывности f получим

F’(х) = lim f(с) = f(х)

Что и требовалось установить.

Легко вытекает следующее утверждение: всякая непрерывная на [а,в] функция имеет на этом отрезке первообразную при этом одной из первообразных является интеграл (V).

Д ействительно, пусть функция f непрерывна на [а,в]; тогда она интегрируема на любом на [а,х], где х  [а,в], то есть, существует интеграл (V), который и является первообразной функцией для f . Следовательно, неопределённый интеграл от непрерывной на [а,в] функции f можно записать в виде

f(х)dх = f(t)dt + С, х  [а,в]

где С – произвольная постоянная.

2.11. Формула Ньютона–Лейбница.

Теорема. Если Ф – первообразная для непрерывной на [а,в] функции f, то определённый интеграл от функции f вычисляется по формуле

f(х)dх = Ф(в) – Ф(а).

Д оказательство: Пусть Ф некоторая первообразная для функции f . В силу предыдущей теоремы функция (V) также является первообразной для функции f . Поскольку две первообразные Ф и F отличаются друг от друга на некоторую постоянную, имеем

f(х)dх = Ф(х) + С (1)

П оложим в последнем равенстве х = а. Так как

f(х)dх = 0,

то Ф(а) + С = 0, откуда С = – Ф(а)

П одставляя найденное значение С в соотношение (1), имеем

f(х)dх = Ф(х) – Ф(а).

Полагая в последнем соотношении х = в и обозначая переменную t через х, окончательно получим равенство указанное в теореме.

Ф ормулу Ньютона–Лейбница в сокращённом виде принято записывать так:

f(х)dх = Ф(х)| = Ф(в) – Ф(а)

П римеры.

1. s in хdх = – cos х| = – cos 2 + cos 0 = 0.

2. = ln |x + x²+1| = ln (1+2) – ln 1 = ln (1+2)

12. Замены переменных в определённых интегралах.

П усть требуется в определённом интеграле

f(х)dх

п рименить подстановку х = (t). Тогда имеет место следующая формула замены переменных в определённом интеграле:

f(х)dх = f [(t)]’(t)dt,

где () = а, () = в.

Эту формулу мы докажем при условиях:

1. Функции (t) и ’(t) непрерывны в [, ].

2. Функция f(х) определена и непрерывна для всех значений, которые функция х = (t) принимает в [, ].

3. () = а, () = в.

4. Д оказательство: Обозначим через М и т наибольшее и наименьшее значения функции х = (t) в [, ]. Пусть

F(х) = f(х)dх, т  х  М.

П о теореме о подстановке в неопределённых интегралах для всех t из [, ] справедливо равенство

F[ (t)] = f[(t)]’(t)dt.

О тсюда f[(t)]’(t)dt = F[()] – F[()] = F(в) – F(а)

Так как f(х)dх = F(в) – F(а)

то из сравнения последних двух равенств получим доказываемую формулу.

П ример. Вычислить интеграл

J = х 1+х² dх

П одставим 1+х² = t, то есть, х = t² –1 . Имеем: t = 1, при х =0, t = 2, при х = 1. Так как dх = tdt/ t² –1 , то

J = t²dt = t³/3| = (22 – 1)/3.

12. Интегрирование по частям.

Пусть функции f(х) и (х) непрерывны вместе со своими производными в интервале [а,в]. Пусть, далее,

F(х) = f(х) (х).

Тогда F’(х) = f(х) ’(х) f’(х) (х).

Т ак как F’(х)dх = F(х)| ,

т о [f(х) ’(х) f’(х) (х)]dх = f(х) (х)| ,

откуда f(х) ’(х)dх = f(х) (х)| – f’(х) (х)dх

Примеры.

1. В ычислить интеграл.

х cos х dх

П оложив f(х) = х, (х) = sin х получим:

х cos х dх = х sin х| – sin х dх = –2

2. В ычислить интеграл

ln х dх.

Положив f(х) = ln х, (х) = х получим:

ln х dх = [х ln х] – х(dх/х) =

= [х ln х] – [х] = 2 ln2 – 1 = ln4 – 1

3.Исторические сведения о возникновении и развитии основных понятий.

В математике XVII в. самым большим достижением справедливо считается изобретение дифференциального и интегрального исчисления. Сформировалось оно в ряде сочинений Ньютона и Лейбница и их ближайших сотрудников и учеников. Введение в математику методов анализа бесконечно малых стало началом больших преобразований, быстро изменивших всё лицо математики и поднявших её роль в системе естественно научных знаний человечества.

Однако появление анализа бесконечно малых не было делом рук одного или нескольких учёных, их гениальной догадки. Оно в действительности было завершением длительного процесса, внутриматематическая сущность которого состояла в накоплении и выделении элементов дифференциального и интегрального исчисления и теории рядов.

Для создания исчисления бесконечно малых внутри математики XVII в. сложились достаточные предпосылки. Это были: наличие сложившейся алгебры и вычислительной техники; введение в математику переменной величины и