КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Решение задач по высшей математике
Задача 1
Вычислить определители:
;
.
Решение
,
Задача 2
Вычислить определитель:
.
Решение
Используя теорему Лапласа, разложим определитель по элементам третьего столбца
.
Задача 3
Найти матрицу, обратную к матрице
.
Решение
Находим определитель матрицы и все алгебраические дополнения
:
;
;
;
;
;
;
;
;
;
.
Ответ:
Обратная матрица имеет вид:
.
Задача 4
С помощью элементарных преобразований вычислить ранг матрицы
.
Решение
Прибавляя к последней строке учетверенную вторую строку и сокращая затем последнюю строку на
, а после этого складывая последний столбец со вторым и третьим последовательно, получим
.
Знак ~ обозначает, что матрицы получены одна из другой с помощью элементарных преобразований и их ранги равны. Сокращая второй столбец на два и вычитая первый столбец со всех остальных столбцов, а затем вычитая последнюю строку из первой и меняя местами столбцы, получаем
.
Ответ:
Ранг матрицы равен двум.
Задача 5
Решить следующую систему линейных алгебраических уравнений по правилу Крамера:
;
Решение
Вычислим главный определитель системы
и вспомогательные определители
,
,.
.
;
;
.
По формуле Крамера, получим
;
;
.
Задача 6
Исследовать на совместность систему линейных алгебраических уравнений и, в случае положительного ответа, найти её решение.
Решение
Матрица
и
имеют вид
,
.
Их ранги равны
. Система совместна. Выделим следующую подсистему
Считая
и
известными, решение подсистемы находим по формулам Крамера . Оно имеет вид
;
,
где
,
- могут принимать произвольные значения. Пусть
, где
Тогда ответом будет служить множество
Задача 7
Даны начало
и конец
вектора
. Найти вектор
и его длину.
Решение
Имеем
, откуда
или
.
Далее
, т.е.
.
Задача 8
Даны вершины треугольника
,
и
. Найти с точность до
угол
при вершине .
Решение
Задача сводится к нахождению угла между векторами
и
:
,
;
. Тогда
, .
Задача 9
Даны вершины треугольника
,
и
. Вычислить площадь этого треугольника.
Решение
Так как площадь треугольника
равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах
и
как на сторонах, т.е.
, то
. Найдем векторы
и :
;
;
.
Вычислим их векторное произведение:
,
,
Откуда
. Следовательно,
(кв. ед.).
Задача 10
Даны вершины треугольной пирамиды
,
,
и
. Найти ее объем.
Решение
Имеем
,
и
. Найдем векторное произведение
,
.
Этот вектор скалярно умножим на вектор
:
.
Это смешанное произведение можно найти непосредственно по приведенной формуле:
.
Следовательно, объем:
,
(куб. ед.).
Задача 11
Составить уравнение прямой, проходящей через точки
и
.
Решение
За первую вершину примем
(на результат это не влияет); следовательно,
,
,
,
.
Имеем
,
,
,
Ответ:
- общее уравнение искомой прямой.
Задача 12
Составить уравнение прямой, проходящей через точку
, параллельно и перпендикулярно прямой
.
Решение
Найдем угловой коэффициент данной прямой:
. Согласно условиям параллельности и перпендикулярности двух прямых, угловой коэффициент параллельной прямой будет равен
, а перпендикулярной прямой будет равен –4 /3. Составляем уравнения искомых прямых:
1) параллельной:
,
- общее уравнение прямой, параллельной данной;
2) перпендикулярной:
,
- общее уравнение прямой, перпендикулярной к данной.
Задача 13
Найти расстояние между двумя параллельными прямыми
и
.
Решение
Выберем на одной из данных прямых точку
. Пусть
. Для определения координат точки
на прямой
одну координату выберем произвольно, а вторую определим из уравнения. Возьмём
; тогда
,
и
. По формуле расстояния от точки до прямой находим:
;
.
Задача 14
Исследовать на абсолютную и условную сходимость
.
Решение
Проверим выполнение условий теоремы Лейбница
а)
б)
(при вычислении предела применялось правило Лопиталя). Условия выполняются, следовательно, ряд сходится. Исследуем ряд на абсолютную сходимость.
Имеем:
Тогда по признаку Даламбера:
, и ряд, составленный из абсолютных величин элементов исходного ряда, будет сходится. Следовательно, ряд
сходится абсолютно.
а)
б)
,
следовательно ряд
- сходится.
2) Пусть
. Тогда
. Применим признак сравнения, сравнивая его с расходящимся гармоническим рядом
. Имеем
.
Таким образом, ряд
- расходится.
Ответ
Область сходимости ряда
есть интервал
.
Задача 15
Вычислить предел
.
Решение
Для вычисления этого предела непосредственно применить указанные теоремы нельзя, так как пределы функций, находящихся в числителе и знаменателе, не существуют. Здесь имеется неопределенность вида
, для раскрытия которой в данном случае следует числитель и знаменатель дроби разделить на наибольшую степень переменной
, т.е. на
:
,
так как
при
.
Задача 16
Вычислить придел
Решение
Т
ак как предел знаменателя равен нулю, то теорема 3 неприменима. Здесь имеется неопределенность вида
. Для раскрытия этой неопределенности в числителе и знаменателе следует выделить бесконечно малый множитель, на который затем сократить дробь. Для этого воспользуемся формулой разложения квадратного трехчлена на множители
, где
- его корни.
Тогда
.
Задача 17
Вычислить предел
.
Решение
Умножив числитель и знаменатель на выражение, сопряженное к числителю, получим:
.
Задача 18
Вычислить предел
.
Решение
Легко убедиться, что
и
при
.
Поэтому
.
Задача 19
Вычислить предел
Решение
Для того, чтобы воспользоваться вторым замечательным пределом, в показателе степени выделим величину, обратную второму слагаемому основания и получим
.
Задача 20
Найти предел
.
Решение
.
Задача 21
Продифференцировать функцию
.
Решение
.
Задача 22
Вычислить при помощи дифференциала
.
Решение
Пусть
. Тогда
. Обозначим:
;
. Отсюда
. Находим
и .
.
Итак,
.
Задача 23
Найти
.
Решение
Подстановка в заданную функцию значения
приводит к неопределенности вида
. Применив правило Лопиталя, получим:
.
Задача 24
Исследовать на экстремум функцию
.
Решение
1. Находим область определения функции:
.
2. Находим производную функции:
.
3. Находим критические точки, решая уравнение
или
. Критические точки
, .
4. Область определения функции разбиваем критическими точками
и
на интервалы, в каждом из которых определяем знак
, делаем вывод о характере монотонности функции на каждом из интервалов и отмечаем наличие экстремумов.
|
|
|
|
|
|
|
+ |
0 |
— |
0 |
+ |
|
Возрастает |
Max |
убывает |
Min |
Возрастает |
При переходе через критическую точку
производная
меняет знак с “+” на “-”. Значит, в этой точке функция имеет максимум:
.
Аналогично устанавливаем, что
.
Задача 25
Найти наибольшее и наименьшее значения функции
на отрезке
.
Решение
1. Находим критические точки заданной функции:
;
;
.
2. Убеждаемся в том, что точка
принадлежит отрезку
.
3. Вычисляем:
;
;
.
4. Сравниваем числа
;
;
и находим:
;
.
Задача 26
Найти общее решение уравнения
.
Решение
Это неоднородное линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Его решение ищем в виде
, тогда
. Подставляя
и
в исходное уравнение, получим
или
. (1)
Задача 27
Исследовать функцию
.
Решение
1. Функция определена и непрерывна на интервале
. Поэтому точек разрыва и вертикальных асимптот у графика функции нет.
2. Функция нечетная, поскольку
. Это значит, что график функции симметричен относительно начало координат.
3. Положив
, получим
, т.е. кривая проходит через начало координат.
4. Функция не периодична.
5. Находим первую производную
. Производная
для всех
. Это значит, что функция возрастает на всей числовой оси. Поэтому экстремумов она не имеет.
6. Находим вторую производную
и приравниваем её к нулю:
. Точка
будет критической точкой. Точкой
разбиваем область определения функции на интервалы
и
, являющиеся интервалами знакопостоянства второй производной.
Поскольку при переходе через точку
производная
меняет знак, то точка
будет точкой перегиба искомой кривой.
7. Выясним наличие наклонных асимптот:
;
;
;
.
Следовательно, наклонными асимптотами будут прямые:
и
.
Задача 28
Найти частные производные функции
.
Решение
;
;
.
Задача 29
Найти производную функции
в точке
в направлении вектора
.
Решение
;
;
;
;
;
; .
Задача 30
Даны функция
и точки
и
. Вычислить:
1) точное значение
функции в точке
;
2) приближенное значение
функции в точке
, исходя из её значения в точке
, заменив приращение
при переходе от точки
к точке
дифференциалом ;
3) относительную погрешность, возникающую при замене
на
.
Решение
По условию
,
,
,
. Поэтому
,
. Находим точное значение функции в точке :
.
Находим приближенное значение
:
;
;
.
Вычисляем относительную погрешность:
.
Задача 31
Найти экстремумы функции
.
Решение
Находим критические точки:
;
;
откуда
и
- точки, где частные производные равны нулю. Исследуем эти точки с помощью достаточных условий
;
;
;
;
. Поэтому экстремума в точке
функция не имеет.
,
. Поэтому функция в точке
имеет минимум: .
Задача 32
Вычислить неопределенный интеграл
.
Решение
Возводим в квадрат числитель и почленно делим на знаменатель. Затем, применяя свойства, получаем первый интеграл таблицы:
.
Задача 33
Вычислить неопределенный интеграл
.
Решение
Принимая в подынтегральном выражении
,
, получим
,
. Поэтому
.
Проверка.
.
Задача 34
Вычислить неопределенный интеграл
.
Решение
Сделав замену переменной
Получим
.
Задача 35
Вычислить
.
Решение
Полагаем
,
; тогда
, .
Интегрируя по частям, находим
.
Задача 36
Вычислить
.
Решение
Положим
. Подстановка значений
и
в уравнение
дает
и
. Таким образом,
.
Задача 37
Найти
.
Решение
По определению
.
Задача 40
Найти общее решение уравнения
.
Решение
Так как
,
то данное уравнение есть однородное дифференциальное уравнение. Заменив в исходном уравнении
, получим уравнение
или
.
Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделив их, получим
,
.
Проинтегрировав последнее уравнение, найдем
или
.
Подставив
, общее решение исходного уравнения запишем в виде
, а после преобразования
.
Задача 38
Найти область сходимости степенного ряда
.
Решение
Составим ряд из абсолютных величин
,
По признаку Даламбера имеем:
,
следовательно
,
,
, и на интервале
ряд сходится.
Проверим его сходимость на концах интервала:
1) Пусть
. Тогда
- знакочередующийся ряд. Для его анализа применим теорему Лейбница:
Задача
14
Вычислить
с точностью до
.
Решение
Разложив в ряд
и поделив почленно на
, получим:
.
Выбираем функцию
такой, чтобы
.
Тогда
.
Интегрируем и находим
или
.
Подставив найденную функцию в (1), получим ещё одно уравнение
,
,
; .
Следовательно,
- общее решение заданного уравнения.
Задача 42
Найти общее решение дифференциального уравнения:
.
Решение
Составим характеристическое уравнение
. Так как
и
, то общим решением будет
.
Частное решение неоднородного уравнения
подбирается в зависимости от вида функции
.
1. Пусть
,
, представляет собой многочлен степени
с действительными коэффициентами. Тогда частное решение следует искать в виде:
,
где
- многочлен той же степени, что и многочлен
, но с неизвестными коэффициентами, а
- число корней характеристического уравнения, равных нулю.
Задача 43
Найти общее решение уравнения
.
Решение
Ищем общее решение в виде
, где
- общее решение соответствующего однородного уравнения,
- частное решение неоднородного уравнения. Так как
- многочлен первой степени
и один корень характеристического уравнения
, то частное решение надо искать в виде
.
Подберем коэффициенты
и
так, чтобы решение
удовлетворяло данному уравнению
,
,
.
Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях левой и правой частей тождества, получим
Следовательно,
, а
- искомое общее решение.
2. Пусть
. Тогда частное решение неоднородного уравнения
, где
- число корней характеристического уравнения, равных .
Задача 44
Найти общее решение уравнения
.
Решение
Ищем решение в виде
. Решим однородное уравнение
. Корни характеристического уравнения
равны
и
. Следовательно,
. Частное решение ищем в виде
(так как
,
). Найдем
, а
. Подставляя
,
и
в исходное уравнение, получим
,
,
,
.
Значит,
- частное решение, а
- общее решение.
3. Правая часть
, где
,
,
- заданные действительные числа. В этом случае частное решение ищется в виде
,
где:
и
- неизвестные коэффициенты;
- число корней характеристического уравнения, равных
.
Задача 45
Найти общее решение уравнения
.
Решение
Ищем общее решение в виде
. Имеем:
,
,
, ,
значит,
. Функция
, поэтому
не совпадает с корнями характеристического уравнения
. Следовательно,
,
.
Подставив
,
и
в данное уравнение, получим
.
Приравняв коэффициенты при
и
, найдем
Значит,
- частное решение, а
- общее решение уравнения.
Задача 46
Исследовать сходимость ряда
.
Решение
Найдем
:
,
следовательно, исходя из необходимого признака, ряд расходится.
Задача 47
Исследовать сходимость ряда
Решение
Применим признак Даламбера:
,
,
,
следовательно, ряд сходится.
Задача 48
Исследовать на сходимость ряда
.
Решение
Сравним данный ряд с рядом
:
.
матрица задача алгебраическая ряд уравнение
Следовательно, оба ряда ведут себя одинаково. Ряд
расходится , следовательно, и данный ряд
тоже расходится.
Размещено на http://www.
|