МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ
Учреждение образования
Математический факультет
Кафедра алгебры и методики преподавания математики
Курсовая работа
СОДЕРЖАНИЕ
Ведение
1.Основные определения и теоремы
2.Смежные классы
2.1. Правые и левые смежные классы
2.2 Двойные смежные классы
3. Нормальные подгруппы и фактор-группы
3.1 Нормальные подгруппы
3.2 Фактор-группы
Заключение
Список использованных источников
ВВЕДЕНИЕ
Первый значительный вклад в теорию групп внес Эварист Галуа (1811–1832) при исследовании вопроса о разрешимости в радикалах алгебраических уравнений. Именно Галуа впервые ввел понятие группы и попытался выяснить, как они устроены. До него группы в виде подстановок корней уравнения возникли также в работах Лагранжа (1771), Роффини (1799) и Абеля (1825).
В 1830–1832 годах Галуа пришел к понятиям нормальной подгруппы, разрешимой группы, простой группы. С тех пор многие ученые математики занимались исследованиями в вопросах связанными с группами, вводили новые понятия, строили свои догадки, формулировали и доказывали теоремы.
Теория групп – один из центральных разделов современной алгебры, в настоящее время активно разрабатываемый в Беларуси в научных школах Минска, Гомеля, Витебска, Новополоцка, Мозыря.
Понятие группы приобретает в настоящее время все большее господство над самыми различными разделами математики и ее приложений и наряду с понятием функции относится к самым фундаментальным понятиям всей математики.
Понятие группы не труднее понятия функции; его можно освоить на самых первых ступенях математического образования, тем более что сделать это можно на материале элементарной математики. Вместе с тем знакомство с этой теорией кажется одним из самых естественных способов ознакомления с современной математикой вообще.
Моя цель состоит в том, чтобы разобраться с начальными понятиями, связанными с группами: фактор-группы, смежные классы, доказать наиболее важные теоремы, следствия, выделить некоторые свойства.
1.ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ТЕОРЕМЫ
Рассмотрим некоторое непустое множество G, на котором определена бинарная алгебраическая операция.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.1. Пара (G,*) называется группой, если:
1) операция ассоциативна, т.е. для любых a, b, c ÎG выполняется
a*(b*c)=(a*b)*c;
2) в G существует нейтральный элемент относительно, т.е. для любого a Î G найдется такой элемент e ,что выполняется
a*e=e*a=a
3) для любого элемента G существует симметричный элемент относительно, т.е. для любых a, bÎ G выполняется
a*b=b*a=e;
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.2. Подмножество H группы G называется подгруппой, если H-группа относительно той же операции, которая определена на G.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.3. Зафиксируем в группе G элемент a. Пересечение всех подгрупп группы G, содержащих элемент а, называется циклической подгруппой, порожденной элементом а, и обозначается áаñ.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.4. Если G совпадает с одной из своих циклических подгрупп, то G называют циклической группой.
ТЕОРЕМА 1.1. Пусть элемент аÎG имеет конечный порядок k.
Тогда
áаñ ={e, a, a
, … , a
}
Кроме того, а
= e в точности тогда, когда k делит m.
ТЕОРЕМА 1.2. Все подгруппы бесконечной циклической группы G = áаñ исчерпываются единичной подгруппой E={e} и бесконечными подгруппами á а
ñ для каждого натурального m.
ТЕОРЕМА 1.3.Все подгруппы конечной циклической группы áаñ порядка n исчерпываются циклическими подгруппами á а
ñ порядка n/m для каждого натурального m, делящего n.
ТЕОРЕМА 1.4. Непустое подмножество H группы G будет подгруппой тогда и только тогда, когда h
h
H и h
H.
2. СМЕЖНЫЕ КЛАССЫ
2.1 Правые и левые смежные классы
Пусть G– группа, H – ее подгруппа и gÎG.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.1.1. Правым смежным классом группы Gпо подгруппе H называется множество Hg= {hg | hÎH} всех элементов группы G вида hg , где h “пробегает” все элементы подгруппы H.
Аналогично определяется левый смежный класс gH={gh | hÎH}.
ЛЕММА 2.1.1. Пусть G – группа, H – подгруппа. Тогда справедливы утверждения:
1) H=He;
2) gÎHg для каждого gÎG;
3) если aÎH, то Ha=H; если bÎHa , то Hb=Ha;
4) Ha=Hb тогда и только тогда, когда ab
ÎH;
5) два смежных класса либо совпадают, либо их пересечение пусто;
6) если H– конечная подгруппа, то | Hg| = | H| для всех gÎG.
Доказательство
Первые три свойства вытекают из определения правого смежного класса
(4) Если Ha= Hb, то ea= hb, hÎH и ab
= hÎH. Обратно, если ab
ÎH, то aÎHb и Ha=Hb по утверждению 3.
(5) Пусть HaÇHb ≠Æи cÎHaÇHb. Тогда c=
a=
b и ab
=
ÎH. Теперь Ha=Hb по утверждению 4).
(6) Для каждого gÎG отображение φ: h→hg есть биекция множеств H и Hg. Поэтому | H| = | Hg|
Ч.т.д.
Из свойств 2) и 5) следует, что каждый элемент группы G содержится точно в одном правом смежном классе по подгруппе H. Это свойство позволяет ввести следующее определение.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.1.2. Пусть H подгруппа группы G. Подмножество T элементов группы G называется правой трансверсалью подгруппы H в группе G , если T содержит точно один элемент из каждого правого смежного класса группы G по подгруппе H .Итак, если T= {
| aÎI} –правая трансверсаль подгруппы H в группе G, то G=
, H
Æпри .
Таким образом, справедлива теорема.
ТЕОРЕМА 2.1.1. Если H – подгруппа группы G, тоGявляется подгруппой непересекающихся правых смежных классов по подгруппе H.
Если G – конечная группа, то число различных правых смежных классов по подгруппе H также будет конечно, оно называется индексом подгруппы H в группе G и обозначается через |G : H|. Ясно, что индекс подгруппы H в конечной группе G совпадает с числом элементов в правой трансверсали T подгруппы H, т.е.
|G : H|=|T|=|G|/|H|
ТЕОРЕМА 2.1.2. (Лагранжа) Если H-подгруппа конечной группы G, то | G| = | H|| G: H|. В частности, порядок конечной группы делится на порядок каждой своей подгруппы.
Доказательство.
Пусть индекс Hв группе G равен n . По теореме 2.1.1. имеем разложение
G=Hg
Hg
Hg
, Hg
Hg
Æпри i ≠ j.
Так как
| Hg
| = |H| для всех i, то | G | = | H || G : H |
СЛЕДСТВИЕ 2.1.1. Порядок каждого элемента конечной группы делит порядок всей группы.
Доказательство
Порядок элемента a совпадает с порядком циклической подгруппы áаñ, порожденный этим элементом, см. теорему 1.1. Поэтому, | á аñ | = | a | делит | G|.
Аналогично определяется левая трансверсаль подгруппы H в группе G. Если L={ l
| aÎJ} – левая трансверсаль подгруппы H в группе G, то
G=
l
H, l
HÇl
H=Æпри .
Ясно, что индекс подгруппы H в конечной группе G совпадает с числом элементов в левой трансверсали L подгруппы H, т.е. | G : H |=| L |. Для левой трансверсали справедлив аналог теоремы 2.1.1 .Поэтому из теоремы Лагранжа имеем
СЛЕДСТВИЕ 2.1.2. Число левых и число правых смежных классов конечной группы G по подгруппе Hсовпадают.
ТЕОРЕМА 2.1.3. В группе простого порядка нет неотрицательных подгрупп. В частности, группа простого порядка циклическая.
Доказательство.
Пусть G – конечная группа простого порядка p. Если H – подгруппа группы G, то по теореме Лагранжа | H | делит | G |. Поэтому либо | H |=1 и H – единичная подгруппа, либо | H |= p и H совпадает с группой G. Выберем неединичный элемент а в группе G и рассмотрим циклическую подгруппу áаñ, порожденную этим элементом. Так как a ≠ e ,то á аñ ≠ E, поэтому áаñ = G и G – циклическая группа.
ТЕОРЕМА 2.1.4. Пусть H≤ K≤ G и G – конечная группа. Если T – правая трансверсаль подгруппы H в группе K, а S – правая трансверсаль подгруппы K в группе G, то TS – правая трансверсаль подгруппы H в группе G. В частности, | G : H | = | G : K || K : H |.
Доказательство
Пусть
T={t
, … ,t
}, S={s
, … , s}
Тогда
K=Ht
. . .
Ht
, Ht
Ht
Æ, i ≠j;
G=Ks
. . .
Ks
, Ks
Ks
Æ, i ≠j.
Теперь
G =( Ht
. . .
Ht
)s
. . .
( Ht
. . .
Ht
)s. (2.1.1)
Предположим, что Ht
s
Ht
s
для некоторых натуральных a,b,c и d. Тогда
t
s
(t
s
)
= t
s
s
t
ÎH ≤ K,
поэтому
s
s
Î t
Kt
= K, K s
=Ks
Но s
и s
– элементы из правой трансверсали подгруппы K в группе G, поэтому s
= s
и b = d. Теперь
t
s
(t
s
)
= t
t
ÎH, H t
=Ht
и a = c. Таким образом, формула (2.1.1.) является разложением группы G по подгруппе H и TS – правая трансверсаль подгруппы H в группе G. Так как индекс подгруппы совпадает с числом элементов в правой трансверсали этой подгруппы, то
|G : H |=| TS |=| T | | S |=| K : H || G : K |
Отметим, что теорема Лагранжа вытекает из теоремы 2.1.4. при H=E.
2.3. Двойные смежные классы
Пусть H и K– подгруппы группы G и gÎG. Множество
HgK={ hgk | hÎH, kÎK}
называется двойным смежным классом группы G по подгруппам H и K
ЛЕММА 2.3.1. Пусть H и K –подгруппы группы G. Тогда справедливы следующие утверждения:
1) Каждый элемент gÎG содержится в единственном двойном смежном классе HgK;
2) Два двойных смежных класса по H и K либо совпадают, либо их пересечение пусто;
3) Группа G есть объединение непересекающихся двойных смежных классов по подгруппам H и K;
4) Каждый двойной смежный класс по H и K есть объединение правых смежных классов по H и левых смежных классов по K;
5) Если группа G конечна, то двойной смежный класс HgK содержит
| K: H
K| правых смежных классов по H и | H: H
K
| левых смежных классов по К.
Доказательство.
(1)Так как каждая подгруппа содержит единичный элемент, то
g=egeÎHgK
Допустим, что gÎHxK. Тогда g=hxk для некоторых hÎH, kÎK и
HgK=H(hxk)K=HxK.
(2) и (3) следуют из (1)
(4)Так как
HgK=
=
,
то утверждение (4) доказано.
Подсчитаем число правых смежных классов в разложении HgK=
по подгруппе H. Допустим, что Hgk
=Hgk
. Тогда
Hgk
k
= Hg и k
k
Îg
Hg
K=H
K
Справедливо и обратное, т.е. если k
k
ÎH
K, то
k
k
Îg
Hg, gk
k
ÎHg, gk
ÎHgk
и Hgk
=Hgk
. Поэтому, в двойном смежном классе HgK правых смежных классов по H столько, сколько их в группе Kпо подгруппе H
K.
Аналогично,
Hgk=
и h
gK=h
gK
тогда и только тогда, когда h
h
ÎH
K
. Поэтому, в произведении HgK левых смежных классов по K будет точно столько, каков индекс
|H : H
K
|
Произведение подгрупп. При g= e двойной смежный класс HgK=HK={hk | hÎH , kÎK} превращается в произведение подгрупп H и K . В общем случае HK не является подгруппой.
Пример:
Найдем разложение симметрической группы S
в левые смежные классы по подгруппе
.
Для этого найдем все левые смежные классы группы
S
={Î,(12),(13),(23),(123),(132)} по подгруппе H=
={Î,(12)}
ÎH= Î{Î, (12)} = {Î, (12)} = H,
(12)H= (12) {Î, (12)} = {(12), Î} = H,
(13)H= (13) {Î, (12)} = {(13), (123)},
(23)H= (23) {Î, (12)} = {(23), (132)},
(123)H= (123){Î,(12)} = {(123),(13)} = (13)H,
(132)H= (132){Î,(12)} = {(132),(23)} = (23)
Искомое разложение принимает вид
S
=ÎH
(13) H
(23) H.
3. НОРМАЛЬНЫЕ ПОДГРУППЫ И ФАКТОР-ГРУППЫ
3.1 Нормальные подгруппы
Подгруппа H называется нормальной подгруппой группы G, если xH=Hx для всех xÎG. Запись H
G читается так: “H – нормальная подгруппа группы G”. Равенство xH=Hx означает, что для любого элемента h
ÎH существует элемент h
ÎH такой, что xh
=hx.
ТЕОРЕМА 3.1.1.(Критерий нормальной подгруппы) Для подгруппы H группы G следующие утверждения эквивалентны:
1) H – нормальная подгруппа группы G;
2) Подгруппа H вместе с каждым своим элементом содержит все ему сопряженные элементы, т.е. h
ÎH для всех hÎH и всех xÎG;
3) Подгруппа H совпадает с каждой своей сопряженной подгруппой, т.е. H=H
для всех xÎG.
Доказательство
.
Доказательство проведем по схеме (1)
(2)
(3)
(4)
(1)
(2). Пусть H
G, т.е. xH=Hx для всех xÎG. Если h — произвольный элемент из H, то hx
Hx = xH. Поэтому существует элемент h
H такой, что hx = x h
.Теперь x
hx = h
H.
(2)
(3). Пусть выполняются требование 2). Тогда H
= {h
| h
H} ÍÍ H для всех x
G. В частности, Hx
Í H, т.е. xHx
Í H. Теперь
H Í x
Hx =H
и H = H
для всех x
G.
(3)
(1). Если H
= H для всех x
G, то x
Hx = H и Hx = xH для всех x
G, т.е. H – нормальная подгруппа группы G.
Ч.т.д.
СЛЕДСТВИЕ 3.1.1.
Если H
G и h
H, то h
Í H. Обратно, если h
Í H для всех h
H, то HG.
Понятие "нормальная подгруппа" можно рассматривать не только по отношению ко всей группе, но и относительно подгрупп. Если H £ K £ G, то подгруппа H будет нормальной в K, если xH = Hx для всех x
K.
Простая группа. В каждой группе G тривиальные подгруппы (единичная подгруппа E и сама группа G) являются нормальными подгруппами. Если в неединичной группе G нет других нормальных подгрупп, то группа G называется простой. Единичную группу E считают непростой группой.
ТЕОРЕМА 3.1.2. Абелева простая группа является циклической группой простого порядка. Обратно, каждая группа простого порядка будет простой абелевой группой.
3.2 Фактор-группы
Пусть H — нормальная подгруппа группы G. Обозначим через
совокупность всех левых смежных классов группы G по подгруппе H, т.е.
= ={xH | x Î G}. Положим
(xH)(yH) = xyH. (3.2.1)
Проверим, что это равенство задает алгебраическую операцию на множестве
. Если xH = x
H, yH = y
H для некоторых x
, y
Î G, то x
= xh, y
= =yg, h и g Î H. Поэтому
(x
H)(y
H) = x
y
H = (xh)(yg)H = xy(y
hy)gH = xyH,
т.к. y
hy ÎH по теореме 3.1.1. Таким образом, равенство (3.2.1) не зависит от выбора представителей смежных классов и каждой паре xH, yH ставится в соответствие единственный элемент xyH.
Ясно, что предложенная операция (3.2.1) определена на
и ассоциативна. Элемент eH = H будет единичным, а элемент a
H — обратным к элементу aH. Таким образом, доказана следующая.
ТЕОРЕМА 3.2.1. Совокупность
= {xH | x Î G} всех левых смежных классов группы G по нормальной подгруппе H с операцией
(xH)(yH) = xyH
образует группу с единичным элементом eH = H и обратным элементом (aH)
= a
H.
Группа
называется фактор-группой группы G по подгруппе H и обозначается через G/H.
Если H не будет нормальной подгруппой, то равенство (3.2.1.) не будет задавать алгебраическую операцию, и совокупность левых смежных классов не будет группой.
Очевидно, что если группа G конечна, то фактор-группа группы G по любой нормальной подгруппе H также будет конечной группой порядка, равного индексу подгруппы H в группе G, т.е.
|G/H |=| G : H |=| G | / | H |
ЛЕММА 3.2.1. Если фактор-группа G/Z(G) циклическая, то группа G абелева.
Доказательство.
Пусть G/Z(G) = á gZ(G)ñ циклическая группа и a, b — произвольные элементы группы G. Тогдаa = g
z
, b = g
z
, z
, z
ÎZ(G), k, lÎZ
и
ab = g
z
g
z
= g
g
z
z
= g
g
z
z
= g
z
g
z = ba
ТЕОРЕМА 3.2.2. Все фактор-группы бесконечной циклической группы á аñ исчерпываются бесконечной циклической группой á аñ / E »á а ñ и конечными циклическими группами áaáа
ññ порядка m для каждого натурального числа m.
Доказательство.
По теореме 1.2 все подгруппы бесконечной циклической группы A = áаñ исчерпываются единичной подгруппой E и бесконечными циклическими подгруппами M = á а
ñ, m Î N. Так как каждая циклическая группа абелева, то в ней любая подгруппа нормальна.
Фактор-группа A/E очевидно будет бесконечной циклической группой, изоморфной A. Так как A = {a
| k Î Z}, то фактор-группа A/M состоит из смежных классов a
M, k Î Z. Если два смежных класса совпадут a
M = a
M, то a
ÎM и s - t кратно m. Отсюда следует, что смежные классы M, aM, a
M, . , a
M попарно различны. Кроме того, для любого a
M Î A/M имеем:
t = mq + r, 0 ≤ r < mи a
M = a
a
M = aM.
Такимобразом,
A/M = {M, aM, a
M, . . . , a
M} = áaMñ,
т.е. фактор-группа A/M будет конечной циклической группой порядка m.
ТЕОРЕМА 3.2.3. Все фактор-группы конечной циклической группы áañ порядка n исчерпываются конечными циклическими группами áaáа
ññ порядка m для каждого натурального m, делящего n.
Доказательство
.
По теореме 1.3, все подгруппы конечной циклической группы A = áañпорядка n исчерпываются циклическими подгруппами M = á а
ñ порядка n/m для каждого натурального m, делящего n. Легко проверить, что
A/M = áaMñ = {aM, a
M, . . . , a
M,M},
т.е. A/M=áaáа
ññ будет циклической группой порядка m.
Условимся через S(G,H) обозначать совокупность всех подгрупп группы G, содержащих подгруппу H. В частности, S(G,E)=S(G) — совокупность всех подгрупп группы G, а S(G,G) = {G}.
ТЕОРЕМА 3.2.4.(Теорема о соответствии)
Пусть H — нормальная подгруппа группы G. Тогда:
1) если U — подгруппа группы G и H ≤ U, то
= U/H — подгруппа фактор-группы
= G/H;
2) каждая подгруппа фактор-группы
= G/H имеет вид
= V/H, где V— подгруппа группы G и H £V ;
3) отображение
: U →
является биекцией множества S(G,H) на множество S(
);
4) если N Î S(G,H), то N — нормальная подгруппа группы G тогда и только тогда, когда N/H – нормальная подгруппа фактор-группы G/H.
Доказательство.
(1) Пусть U Î S(G,H) и пусть
={uH | u Î U} — совокупность смежных классов группы U по своей нормальной подгруппе H. Если u
H, u
H ÎÎ
, то u
, u
Î U, а так как U — подгруппа, то u
u
Î U и u
Î U. Поэтому,
(u
H)(u
H) = u
u
H Î
, (u
H)
= u
H Î
и по критерию подгруппы (теорема 1.4) совокупность
– подгруппа группы
.
(2) Пусть
— произвольная подгруппа из
. Тогда
состоит из некоторых смежных классов группы G по подгруппе H. Обозначим через V множество всех тех элементов группы G, из которых состоят смежные классы, принадлежащие
, т.е. V = {x Î G | xH Î
}. Если v
, v
Î V, то v
H, v
H Î
, а так как — подгруппа, то
(v
H)( v
H) = v
v
H Î
и (v
H)
= v
H Î
Следовательно, v
v
Î V и v
Î V , т.е. V — подгруппа группы G. Ясно, что H ≤ Vэ
(3) Отображение
: U →
будет сюръекцией на основании утверждения (2). Докажем, что
– инъекция. Пусть U и V — подгруппы, содержащие H, и предположим, что подгруппы
= {uH | u Î U} и
= { vH | v Î V } совпадают. Тогда для любого элемента u Î U существует элемент v Î V такой, что uH = vH. Поэтому v
u Î H ≤ V ∩ U. Теперь u Î V и U ≤ V . Аналогично проверяется обратное включение. Следовательно U = V и
— инъекция.
(4) Если N
G, NÎS(G,H), то
(gH)
(nH)(gH) = g
ngH Î N/H
для всех g Î G, n Î N. Поэтому
= N/H
. Обратно, если
, то
g
ngH = (gH)
(nH)(gH) Î
и g
ngHÎN, значит N
G.
Пример: Найдем все фактор-группы группы S
.
Среди подгрупп группы S
со своими сопряженными совпадают следующие подгруппы: E, S
, H=
(см. пример выше). По теореме 4.1. эти три подгруппы нормальны в S
. Ясно, что S
/ S
– единичная группа, а S
/ E изоморфна S
.Порядок подгруппы H=
равен 3, а порядок S
/ H равен 2. Поэтому S
/ H – циклическая группа порядка 2.Смежные классы S
по H исчерпываются классами H и (12)H. Таким образом, группа S
имеет три фактор-группы: S
/ H
S
, S
/ S
E, S
/ H={H,(12)H}=.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Теория групп является одним из самых важных разделов математики, а понятия фактор-группы и смежных классов – всего лишь маленькая частичка этого огромного айсберга знаний. В мире все еще существуют нерешенные проблемы теории групп, разбираясь же в самых простых определениях и теоремах можно прийти к чему-то большему. Возможно, в недалеком будущем именно мне удастся разрешить эти вопросы.
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
1. Александров, П.С. Введение в теорию групп /П.С. Александров –М.:Наука, 1980.
2. Богопольский, О.В. Введение в теорию групп /О.В. Богопольский – М.: Институт компьютерных исследований, 2002.
|